Задача
ALG-B3-M07-P019 Образ как бесконечное множество
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(P(x))=P(x)^2\) для всех \(x\).
Если \(P\) непостоянен, его образ бесконечен.
Если \(P\) постоянен и равен \(c\), то \(c=c^2\), значит \(c=0\) или \(c=1\). Пусть теперь \(P\) непостоянен. Тогда множество значений \(P(x)\) бесконечно. Для каждого числа \(t\) из этого образа существует \(x\), такое что \(t=P(x)\), и условие даёт \(P(t)=t^2\). Значит, многочлен \(P(T)-T^2\) имеет бесконечно много корней, поэтому он тождественно равен нулю. Следовательно, \(P(x)=x^2\). Проверка показывает, что \(0\), \(1\) и \(x^2\) подходят.
Сильная задача на использование бесконечного образа непостоянного многочлена.