Задача
ALG-B3-M09-P004 Глобальная верхняя граница
#4
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f\) аддитивна и \(f(x)\le100\) для всех \(x\). Докажите, что \(f\equiv0\).
Если \(f(a)>0\), рассмотрите \(na\). Если \(f(a)<0\), рассмотрите отрицательные кратные.
Если \(f(a)>0\), то \(f(na)=nf(a)\) станет больше \(100\) при больших \(n\), противоречие. Если \(f(a)<0\), то \(f((-n)a)=-nf(a)\) станет больше \(100\). Значит, \(f(a)=0\) для всех \(a\).
Глобальная ограниченность сильнее локальной.