Задача
ALG-B3-M09-P020 Двусторонний знак произведения
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f\) аддитивна и \(f(x)f(y)\le xy\) для всех \(x,y\). Найдите все такие функции.
Сначала получите ограниченность из случая \(y=x\), затем используйте оба знака \(xy\).
При \(y=x\): \(f(x)^2\le x^2\). Следовательно, \(|f(x)|\le1\) на \([-1,1]\), и аддитивная функция ограничена на интервале. Значит, \(f(x)=cx\). Подставляем: \(c^2xy\le xy\) для всех \(x,y\). Если \(xy>0\), то \(c^2\le1\). Если \(xy<0\), при делении знак меняется, и \(c^2\ge1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\). Проверка очевидна.
Финальная задача модуля: boundedness плюс анализ знака произведения.