ALG-B3-M09-P019 Произведение с одним знаком

Сначала положите \(y=x\), затем рассмотрите \(xy<0\).

При \(y=x\): \(f(x)^2\ge x^2\), это не даёт ограниченности. Но при \(y=-x\): \(f(x)f(-x)\ge -x^2\), то есть \(-f(x)^2\ge -x^2\), откуда \(f(x)^2\le x^2\). Значит, \(f\) ограничена на \([-1,1]\), поэтому \(f(x)=cx\). Условие становится \(c^2xy\ge xy\) для всех \(x,y\). При \(xy>0\) получаем \(c^2\ge1\), при \(xy<0\) получаем \(c^2\le1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).

Сложнее, чем версия с \(\le\), потому что boundedness нужно извлечь через \(y=-x\).