Задача
ALG-B3-M10-P006 Золотое произведение
#6
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все непрерывные аддитивные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x)f(y)=f(xy)+xy\).
После линейности получите \(c^2=c+1\).
Непрерывная аддитивность даёт \(f(x)=cx\). Подстановка: \(c^2xy=cxy+xy\). Значит, \(c^2=c+1\). Ответ: \(f(x)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x\) или \(f(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}x\).
Иррациональный коэффициент допустим на \(\mathbb R\).