Задача
ALG-B3-M10-P010 Две обратные аддитивные функции
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f,g:\mathbb Q\to\mathbb Q\) аддитивны и \(f(g(x))=x\), \(g(f(x))=x\). Найдите все пары.
Пусть \(f(x)=ax\), \(g(x)=bx\).
На \(\mathbb Q\) имеем \(f(x)=ax\), \(g(x)=bx\). Условия дают \(ab=1\). Поэтому \(a\in\mathbb Q\setminus\{0\}\), \(b=\frac1a\). Ответ: \(f(x)=ax\), \(g(x)=\frac{x}{a}\).
Система двух функций.