Задача
ALG-B3-M10-P012 Параметр и инволюция
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все пары \((a,f)\), где \(f\) непрерывна, \(f(x+y)=f(x)+f(y)+a xy\), и \(f(f(x))=x\).
Если \(a\ne0\), функция квадратична.
Из первого условия \(f(x)=\frac a2x^2+cx\). Если \(a\ne0\), то \(f\) имеет степень \(2\), и \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), что невозможно. Значит, \(a=0\). Тогда \(f(x)=cx\), и \(c^2=1\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\) или \(f(x)=-x\).
Параметр отсекается композицией.