Задача
ALG-B3-M10-P014 Аддитивность и обратный аргумент
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\) аддитивна и для всех \(x\ne0\) выполнено \(f\left(\frac1x\right)=\frac{f(x)}{x^2}\). Найдите \(f\).
Пусть \(f(x)=cx\).
Аддитивность на \(\mathbb Q\) даёт \(f(x)=cx\). Тогда левая часть равна \(\frac c x\), правая равна \(\frac{cx}{x^2}=\frac c x\). Условие не ограничивает \(c\). Ответ: все \(f(x)=cx\), \(c\in\mathbb Q\).
Иногда второе условие оказывается совместимым со всей семьёй.