Задача
ALG-B3-M11-P020 Параметр, середины и композиция
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все пары \((a,f)\), где \(f\) непрерывна, \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2a y^2\), и \(f(f(x))=x\).
Сначала найдите общий вид из Jensen-type уравнения.
Из первого условия после вычитания \(a x^2\) получаем \(f(x)=a x^2+cx+d\). Если \(a\ne0\), то композиция \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), невозможно. Значит, \(a=0\), \(f(x)=cx+d\). Условие \(f(f(x))=x\) даёт \(c^2=1\), \(d(c+1)=0\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\), а также \(f(x)=-x+d\) при любом \(d\in\mathbb R\).
Финальная mixed-задача: параметр, Jensen, степень и композиция.