#11 Смешанные функциональные уравнения

Пусть \(g(x)=f(x)-2x^2\). Тогда \(g\) аддитивна и непрерывна, значит \(g(x)=cx\). Из \(f(1)=3\): \(2+c=3\), \(c=1\). Ответ: \(f(x)=2x^2+x\).

Тогда \(c^2x=9x\), значит \(c=3\) или \(c=-3\). Ответ: \(f(x)=3x\), \(f(x)=-3x\).

Если \(f(a)>a\), то \(f(f(a))>f(a)\), то есть \(a>f(a)\), противоречие. Случай \(f(a)

Многочлен \(P(x+1)-P(x)-((x+1)^3-x^3)\) имеет бесконечно много корней, значит тождественно равен нулю. Поэтому \(P(x)-x^3\) периодичен с периодом \(1\), следовательно постоянен. Ответ: \(P(x)=x^3+c\).

Для \(n=2k\): \(f(n)=1+8k=4n+1\). Для \(n=2k+1\): \(f(n)=5+8k=4n+1\). Ответ: \(f(n)=4n+1\).

Циклы имеют длину \(1\) или \(3\). Если нет неподвижных точек, все циклы длины \(3\), значит \(14\) делится на \(3\), что неверно. Следовательно, неподвижная точка есть.

Для \(q>0\): \(qf(x)=f(qx)\le q^2x^2\), значит \(f(x)\le qx^2\). При \(q\to0+\) получаем \(f(x)\le0\). Для \(-x\) получаем \(-f(x)\le0\), значит \(f(x)=0\).

Постоянные решения: \(0\), \(1\). Если \(P\) непостоянен и имеет ненулевой корень \(r\), то \(P(ry)=0\) для всех \(y\), невозможно. Значит, \(P(x)=ax^n\). Подстановка даёт \(a=a^2\), поэтому \(a=1\). Ответ: \(0\), \(1\), \(x^n\), \(n\ge1\).

Непрерывные решения имеют вид \(f(x)=ax+b\). Из \(f(0)=1\) получаем \(b=1\). Из \(f(2)=5\): \(2a+1=5\), \(a=2\). Ответ: \(f(x)=2x+1\).

Получаем \(cx^2=2c x^2\) для всех \(x\), значит \(c=0\). Ответ: \(f\equiv0\).

Пусть \(f(x)=cx\). Тогда \(c^2xy=cxy+xy\), значит \(c^2=c+1\). Ответ: \(f(x)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x\) или \(f(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}x\).

Если \(f(a)=f(b)\), сравнение при \(y=a,b\) даёт \(a=b\). При \(y=0\) получаем \(f(0)=0\); при \(x=0\), \(f(f(y))=3y\). Для \(t=f(y)\) имеем \(f(t)=3y\), значит \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Возрастающая аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Тогда \(c^2=3\), \(c>0\). Ответ: \(f(x)=\sqrt{3}x\).

Если \(f(x)=cx\), то \(f(f(x))=c^2x\). Нужно \(c^2=3\), невозможное для рационального \(c\). Противоречие.

Постоянные многочлены подходят. Если \(P\) непостоянен, то для бесконечно многих \(t=P(x)\) выполнено \(P(t)=t\). Значит, \(P(T)-T\equiv0\). Ответ: все постоянные многочлены и \(P(x)=x\).

Имеем \(m>n\) и \(f(m)=n+2\). Но по условию \(f(m)>m\), значит \(n+2>m\). Поэтому \(n

При \(y=x\): \(f(x)^2\le x^2\), значит \(f\) ограничена на \([-1,1]\), и \(f(x)=cx\). Тогда \(c^2xy\le xy\). При \(xy>0\): \(c^2\le1\), при \(xy<0\): \(c^2\ge1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).

Общий вид: \(f(x)=\frac a2x^2+cx\). Если \(a\ne0\), то \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), невозможно. Значит, \(a=0\). Тогда \(f(x)=cx\), и \(c^2x=x\), откуда \(c=1\) или \(c=-1\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).

При \(x=0\): \(f(f(y))=f(0)+y\), значит \(f\) инъективна, а на конечном множестве биективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(y))=y\). Подстановка \(y=f(t)\) даёт \(f(x+t)=f(x)+f(t)\), значит \(f(x)=ax\). Из \(a^2=1\) по модулю \(p\) получаем \(a=\pm1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).

Из \(f(2)=6\) получаем \(2a=6\), значит \(a=3\). Условие \(f(g(x))=x\) даёт \(ab=1\), поэтому \(b=\frac13\). Ответ: \(f(x)=3x\), \(g(x)=\frac{x}{3}\).

Из первого условия после вычитания \(a x^2\) получаем \(f(x)=a x^2+cx+d\). Если \(a\ne0\), то композиция \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), невозможно. Значит, \(a=0\), \(f(x)=cx+d\). Условие \(f(f(x))=x\) даёт \(c^2=1\), \(d(c+1)=0\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\), а также \(f(x)=-x+d\) при любом \(d\in\mathbb R\).