Задача
COM-B1-M07-P021 Четыре угла не помогают
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
С доски \(8\times8\) удалили четыре угловые клетки. Площадь оставшейся части делится на \(4\), а черных и белых клеток поровну. Докажите, что все равно нельзя покрыть ее прямыми тетрамино \(1\times4\).
Обычная шахматная раскраска слишком грубая. Используйте четыре цвета.
Покрасим клетку \((i,j)\) по остатку \(i+j\pmod4\). Каждое прямое тетрамино закрывает по одной клетке каждого цвета. На полной доске \(8\times8\) каждого цвета по \(16\). Углы имеют цвета \(2,1,1,0\), поэтому после удаления остаются числа \(15,14,15,16\). Они не равны, а значит область не может быть разбита на фигуры, каждая из которых берет один цвет каждого вида.
Повторяет важную идею на более олимпиадном уровне: площадь и два цвета не всегда достаточны.