Задача
COM-B1-M07-P024 Две диагонали на \(10\times10\)
С доски \(10\times10\) удалили все клетки обеих диагоналей. Площадь оставшейся части равна \(80\). Докажите, что ее нельзя покрыть прямыми тетрамино \(1\times4\).
Шахматная раскраска не даст противоречия. Попробуйте цвет \(i+j\pmod4\).
Покрасим клетку \((i,j)\) по остатку \(i+j\pmod4\). Любое прямое тетрамино покрывает по одной клетке каждого из четырех цветов. На полной доске \(10\times10\) количества цветов \(0,1,2,3\) равны \(25,24,25,26\). На главной диагонали \((i,i)\) цвета чередуются между \(2\) и \(0\), поэтому удаляются \(5\) клеток цвета \(0\) и \(5\) клеток цвета \(2\). На побочной диагонали \((i,11-i)\) сумма индексов равна \(11\), значит все эти \(10\) клеток имеют цвет \(3\). После удаления остаются количества \(20,24,20,16\). Они не равны. Но замощение прямыми тетрамино требовало бы равного числа клеток каждого цвета. Противоречие.
Сильная задача: площадь и обычная шахматная раскраска проходят, нужна скрытая четырехцветная раскраска.