Задача
COM-B1-M07-P023 Ровно половина вертикальных
Доска \(8\times8\) покрыта домино. Докажите, что если число вертикальных домино нечетно, то такое покрытие невозможно. Затем приведите пример, когда вертикальных домино ровно \(16\).
Для запрета используйте раскраску столбцов. Для примера разделите доску на две половины.
Покрасим столбцы попеременно. Как и раньше, горизонтальные домино покрывают по одной клетке двух цветов, а вертикальные - две клетки одного цвета. Так как на всей доске цветов поровну, вертикальные домино должны распределиться поровну между двумя типами столбцов. Значит, их общее число четно. Поэтому нечетное число вертикальных домино невозможно. Пример с \(16\): в первых четырех столбцах положим все домино вертикально, получим \(16\) вертикальных домино; оставшиеся четыре столбца можно покрыть горизонтальными домино по строкам.
Здесь есть и невозможность, и конструкция, что делает задачу сильнее.