Задача
COM-B1-M08-P015 Ходы \(1,3,4\)
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В куче \(31\) камень. За ход можно взять \(1\), \(3\) или \(4\) камня. Последний ход выигрывает. Найдите выигрышный первый ход.
Проигрышные остатки по модулю \(7\): \(0\) и \(2\).
Проверим позиции с остатками \(0\) и \(2\) по модулю \(7\). Из них ходы \(1,3,4\) не ведут снова к остаткам \(0\) или \(2\). Из любого другого остатка можно попасть в \(0\) или \(2\): из \(1\) взять \(1\), из \(3\) взять \(1\), из \(4\) взять \(4\), из \(5\) взять \(3\), из \(6\) взять \(4\). Значит проигрышны позиции \(0\) и \(2\) по модулю \(7\). Так как \(31\equiv3\pmod7\), первый берет \(1\) камень и оставляет \(30\equiv2\pmod7\).
Хорошая задача на построение таблицы проигрышных остатков.