Задача
COM-B2-M03-P009 Нижние ограничения
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Сколько целых решений имеет \(x_1+x_2+x_3+x_4=30\), если \(x_1\ge2\), \(x_2\ge4\), \(x_3\ge0\), \(x_4\ge5\)?
Снимите нижние ограничения заменой переменных.
Положим \(y_1=x_1-2\), \(y_2=x_2-4\), \(y_3=x_3\), \(y_4=x_4-5\). Тогда \(y_i\ge0\), а сумма равна \(30-2-4-5=19\). Число неотрицательных решений \(y_1+\cdots+y_4=19\) равно \(\binom{19+4-1}{3}=\binom{22}{3}=1540\).
Это та же биекция stars and bars после сдвига.