Задача
COM-B2-M05-P014 Нечётные строки и столбцы
На доске \(10\times14\), раскрашенной в шахматном порядке, некоторые клетки отмечены. В каждой строке и в каждом столбце отмечено нечётное число клеток. Докажите, что число отмеченных чёрных клеток чётно.
Запишите цвет клетки через чётность суммы номера строки и номера столбца.
Нумеруем строки \(1,\ldots,10\), столбцы \(1,\ldots,14\). Пусть чёрными считаются клетки, для которых \(i+j\) нечётно. Обозначим через \(x_{ij}\) число \(0\) или \(1\), показывающее, отмечена ли клетка.
По модулю \(2\) число отмеченных чёрных клеток равно
\[\sum_{i,j}(i+j)x_{ij}=\sum_i i\sum_j x_{ij}+\sum_j j\sum_i x_{ij}.\]
В каждой строке и в каждом столбце сумма отметок нечётна, то есть равна \(1\) по модулю \(2\). Поэтому искомая чётность равна
\[\sum_{i=1}^{10} i+\sum_{j=1}^{14} j=55+105=160\equiv 0\pmod 2.\]
Значит, отмеченных чёрных клеток чётное число.
Идея вдохновлена олимпиадным методом паритетной суммы на шахматной доске; размеры и текст изменены.