Задача
COM-B2-M05-P015 Углы прямоугольников: полный инвариант
На доске \(5\times7\) все клетки белые. За ход выбирают прямоугольник и меняют цвет четырёх его угловых клеток. Докажите, что в любой достижимой раскраске в каждой строке и каждом столбце чётное число чёрных клеток.
Один ход затрагивает по две клетки в каждой из двух строк и двух столбцов.
В начальной раскраске в каждой строке и каждом столбце чёрных клеток \(0\), то есть чётное число.
Один ход выбирает две строки и две колонки. В каждой выбранной строке меняются цвета ровно двух клеток, поэтому чётность числа чёрных клеток в этой строке сохраняется. В остальных строках ничего не меняется. То же рассуждение верно для столбцов.
Следовательно, после любого числа ходов все строки и столбцы сохраняют чётность \(0\).
Эта задача готовит к более сильному критерию достижимости через прямоугольные паритеты.