Задача
COM-B2-M09-P009 Пять коробок с верхней границей
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Сколькими способами можно разложить \(20\) одинаковых жетонов по \(5\) коробкам, если в каждой коробке должно быть не больше \(6\) жетонов?
Искомое число - коэффициент при \(x^{20}\) в \((1+x+\cdots+x^6)^5\).
Без ограничений решений \(\binom{24}{4}=10626\). Если одна коробка содержит хотя бы \(7\), после вычитания \(7\) остается сумма \(13\), что дает \(\binom{17}{4}=2380\) решений; таких коробок \(5\). Если две коробки содержат хотя бы \(7\), остается сумма \(6\), что дает \(\binom{10}{4}=210\) решений; пар коробок \(\binom{5}{2}=10\). Три коробки уже невозможны. Ответ: \(10626-5\cdot 2380+10\cdot 210=826\).
Стандартная олимпиадная задача на коэффициент конечной степени.