Задача
COM-B2-M09-P012 Симметрия коэффициентов
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(c_k\) - коэффициент при \(x^k\) в \((1+x+\cdots+x^m)^n\). Докажите, что \(c_k=c_{mn-k}\).
Коэффициент считает наборы \((a_1,\ldots,a_n)\), где \(0\le a_i\le m\). Замените \(a_i\) на \(m-a_i\).
Коэффициент \(c_k\) равен числу наборов \((a_1,\ldots,a_n)\) таких, что \(0\le a_i\le m\) и \(a_1+\cdots+a_n=k\). Каждому такому набору сопоставим \((m-a_1,\ldots,m-a_n)\). Все новые числа также лежат от \(0\) до \(m\), а их сумма равна \(mn-k\). Это обратимое соответствие, значит, \(c_k=c_{mn-k}\).
Подготовка к симметрии ограниченных коэффициентов без раскрытия многочлена.