COM-B2-M09-P017 Различные части и нечетные части

Запишите производящие функции для двух типов разбиений и преобразуйте \((1+x^i)\).

Разбиения на различные части кодируются произведением \(\prod_{i\ge 1}(1+x^i)\), потому что каждую часть \(i\) можно взять не больше одного раза. Используем тождество \(1+x^i=\frac{1-x^{2i}}{1-x^i}\):

\[\prod_{i\ge 1}(1+x^i)=\frac{\prod_{i\ge 1}(1-x^{2i})}{\prod_{i\ge 1}(1-x^i)}.\]

В знаменателе есть множители для всех положительных \(i\), а в числителе сокращаются все четные множители. Остается \(\prod_{j\ge 1}\frac{1}{1-x^{2j-1}}\), то есть производящая функция разбиений на нечетные части. Коэффициенты при \(x^n\) равны.

Классический результат; для первого знакомства достаточно формального доказательства на уровне коэффициента \(x^n\).