Задача
COM-B2-M09-P018 Сумма с условием четности
Найдите число восьмерок \((x_1,\ldots,x_8)\), для которых \(0\le x_i\le 5\), \(x_1+\cdots+x_8=30\), а \(x_1+x_2+x_3\) четно.
Замените \(y_i=5-x_i\), чтобы считать сумму \(10\), и учтите, что четность первых трех переменных изменится.
Положим \(y_i=5-x_i\). Тогда \(0\le y_i\le 5\), \(y_1+\cdots+y_8=10\). Условие \(x_1+x_2+x_3\) четно эквивалентно тому, что \(15-(y_1+y_2+y_3)\) четно, то есть \(y_1+y_2+y_3\) нечетно.
Пусть \(A_3(t)\) - число троек от \(0\) до \(5\) с суммой \(t\), а \(A_5(u)\) - число пятерок от \(0\) до \(5\) с суммой \(u\). Нужно сложить \(A_3(t)A_5(10-t)\) по нечетным \(t\). Коэффициенты из \((1+x+\cdots+x^5)^3\) и \((1+x+\cdots+x^5)^5\) дают:
\[3\cdot 540+10\cdot 305+21\cdot 126+27\cdot 35+25\cdot 5=8386.\]
Ответ: \(8386\).
Сильная задача: нужно одновременно уменьшить сумму заменой и применить фильтр четности.