Задача
GEO-B1-M02-P006 Три свойства одной линии
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В равнобедренном треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=AC\). Точка \(M\) — середина основания \(BC\). Докажите, что \(AM\) является биссектрисой угла \(A\) и высотой треугольника.
Сначала докажите равенство треугольников \(ABM\) и \(ACM\).
По признаку SSS треугольники \(ABM\) и \(ACM\) равны: \(AB=AC\), \(BM=CM\), \(AM\) общая. Поэтому \(\angle BAM=\angle MAC\), то есть \(AM\) — биссектриса. Также \(\angle AMB=\angle AMC\). Эти углы смежные, значит оба равны \(90^\circ\). Следовательно, \(AM\perp BC\), то есть \(AM\) — высота.
Ключевая базовая теорема модуля; полезно требовать полное доказательство через SSS.