Задача
GEO-B1-M02-P023 Три самые длинные стороны
Шесть отрезков можно разбить на две тройки так, что из каждой тройки составляется треугольник. Отрезки упорядочили по длине: \(a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\ge a_6\). Докажите, что из отрезков \(a_1,a_2,a_3\) всегда можно составить треугольник. Покажите также, что для трёх самых коротких отрезков аналогичное утверждение неверно.
C. Подсказка 1. Используйте тот исходный треугольник, в котором находился самый длинный отрезок.
D. Подсказка 2. Самый длинный отрезок меньше суммы двух других сторон своего треугольника; замените эти две стороны на не меньшие.
E. Подробное решение.
Отрезок длины \(a_1\) входил в один из двух исходных треугольников. Пусть две другие стороны этого треугольника имеют длины \(u\) и \(v\). По неравенству треугольника \(a_1 Среди пяти отрезков, отличных от \(a_1\), два самых длинных имеют длины \(a_2\) и \(a_3\). Поэтому \(a_2+a_3\ge u+v\). Следовательно, \(a_1 Так как \(a_1\ge a_2\ge a_3\), остальные два неравенства треугольника очевидны: \(a_2 Для трёх самых коротких это может быть неверно. Например, возьмём два равных треугольника со сторонами \(1,3,3\). Тогда три самые короткие длины равны \(1,1,3\), а из таких отрезков треугольник не составляется.
A. Анализ источника. Основные объекты: шесть сторон двух треугольников, отсортированные по длине. Очевидный, но недостаточный подход — пробовать восстановить исходные тройки. Скрытое наблюдение: достаточно посмотреть только на исходный треугольник с максимальной стороной. Нужное преобразование — заменить две его стороны двумя самыми длинными оставшимися отрезками. Ключевых идей: 2.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная архитектура, но основной ход один — правильно применить неравенство треугольника к отсортированному набору.
G. Проверка. Это не одношаговая проверка определения: нужно выбрать правильный исходный треугольник, затем построить контрпример для короткой тройки.