Задача
GEO-B1-M02-P022 Точки на боковых сторонах и медиана
В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(AM\). На сторонах \(AB\) и \(AC\) выбраны точки \(P\) и \(Q\) так, что \(AP=AQ\) и \(BP=CQ\). Докажите, что \(PM=QM\).
Сначала докажите, что \(AB=AC\). Тогда медиана \(AM\) станет биссектрисой.
Так как \(P\) лежит на \(AB\), а \(Q\) на \(AC\), имеем \(AB=AP+PB\) и \(AC=AQ+QC\). Из \(AP=AQ\) и \(BP=CQ\) следует \(AB=AC\). Значит треугольник \(ABC\) равнобедренный, а медиана \(AM\), проведённая к основанию \(BC\), является биссектрисой угла \(A\). Теперь рассмотрим треугольники \(APM\) и \(AQM\). У них \(AP=AQ\), \(AM\) общая, и \(\angle PAM=\angle MAQ\). По SAS треугольники равны, поэтому \(PM=QM\).
Хорошая завершающая задача: сначала нужно получить равнобедренность, затем применить равенство треугольников.