Задача
GEO-B1-M02-P025 Скрытый ортоцентр в параллелограмме
Внутри параллелограмма \(PQRS\) выбрана точка \(X\) так, что \(PX=SX\) и \(\angle PQX=90^\circ\). Точка \(T\) — середина стороны \(QR\). Докажите, что \(XT\perp ST\).
C. Подсказка 1. Возьмите середину стороны \(PS\).
D. Подсказка 2. После этого ищите в треугольнике две высоты, проходящие через \(X\).
E. Подробное решение.
Пусть \(U\) — середина стороны \(PS\). Так как \(PX=SX\), в равнобедренном треугольнике \(PXS\) медиана \(XU\) к основанию является высотой. Значит, \(XU\perp PS\). Поскольку \(PS\parallel QR\), получаем \(XU\perp QT\).
Так как \(U\) и \(T\) — середины противоположных сторон параллелограмма, четырёхугольники \(PQTU\) и \(QTSU\) являются параллелограммами. Поэтому \(UT\parallel PQ\) и \(QU\parallel ST\).
Из условия \(QX\perp PQ\), а \(UT\parallel PQ\), значит, \(QX\perp UT\). Итак, в треугольнике \(QUT\) прямые \(XU\) и \(XQ\) являются двумя высотами. Следовательно, \(X\) — ортоцентр треугольника \(QUT\).
Третья высота этого треугольника тоже проходит через \(X\), значит, \(XT\perp QU\). Но \(QU\parallel ST\), поэтому \(XT\perp ST\), что и требовалось доказать.
A. Анализ источника. Основные объекты: параллелограмм, середины противоположных сторон, равнобедренный треугольник. Очевидный подход — пытаться напрямую доказать перпендикулярность \(XT\) и \(ST\), но нужная прямая \(ST\) скрыта как параллель к \(QU\). Скрытое наблюдение: точка \(X\) становится ортоцентром вспомогательного треугольника \(QUT\). Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: региональная задача с двумя вспомогательными параллелограммами и распознаванием ортоцентра.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно добавить середину, получить две параллельности и только затем увидеть ортоцентр.