Задача
GEO-B1-M02-P026 Четыре равных треугольника
Можно ли из четырёх попарно равных треугольников сложить выпуклый четырёхугольник, у которого нет параллельных сторон? Если можно, опишите построение и докажите, что оно работает.
C. Подсказка 1. Начните не с четырёх треугольников, а с дельтоида, составленного из двух равных равнобедренных треугольников.
D. Подсказка 2. Разрежьте каждый из этих двух равнобедренных треугольников высотой к основанию.
E. Подробное решение.
Возьмём равнобедренный треугольник, не являющийся равносторонним, и склеим два его экземпляра по боковой стороне так, чтобы получился выпуклый дельтоид. Его соседние стороны попарно равны, но противоположные стороны не обязаны быть параллельны.
Выберем исходный равнобедренный треугольник так, чтобы его угол при вершине не был равен углу при основании. Тогда в полученном дельтоиде ни одна пара противоположных сторон не параллельна: иначе равенство соответствующих углов при секущей заставило бы угол при вершине равняться углу при основании.
Теперь проведём в каждом из двух равнобедренных треугольников высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота делит его на два равных прямоугольных треугольника. Два больших равнобедренных треугольника были равны, поэтому все четыре маленьких прямоугольных треугольника попарно равны.
Следовательно, тот же дельтоид составлен из четырёх равных треугольников и не имеет параллельных сторон. Значит, ответ положительный.
A. Анализ источника. Основные объекты: четыре равных треугольника, выпуклый четырёхугольник, отсутствие параллельных сторон. Очевидный подход — пытаться доказать обязательность параллельности, но скрытый ход состоит в построении контрпримера через дельтоид. Нужное преобразование — сначала собрать две большие равнобедренные части, затем разрезать их на четыре равные. Ключевых идей: 2.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональный тип задачи на контрпример и грамотное построение, без тяжёлой техники.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно придумать промежуточную фигуру и проверить как равенство маленьких треугольников, так и отсутствие параллельных сторон.