Задача
GEO-B1-M03-P021 Параллельная прямая и две ломаные
К окружности в точках \(B\) и \(D\) проведены касательные, пересекающиеся в точке \(P\). Прямая через \(P\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(C\). Через точку \(X\) отрезка \(AC\) проведена прямая, параллельная \(BD\). Она пересекает ломаные \(ABC\) и \(ADC\) в точках \(Y\) и \(Z\). Докажите, что эти точки делят обе ломаные в одинаковом отношении, считая путь от \(A\) к \(C\).
C. Подсказка 1. Сначала докажите, что \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\).
D. Подсказка 2. После этого рассмотрите два случая: прямая через \(X\) пересекает пары сторон около \(A\) или около \(C\).
E. Подробное решение.
По теореме о касательной и хорде \(\angle PBA=\angle BCA\), а угол при \(P\) общий для треугольников \(PBA\) и \(PCB\). Значит, эти треугольники подобны, и \(\frac{AB}{BC}=\frac{PB}{PC}\).
Аналогично треугольники \(PDA\) и \(PCD\) подобны, поэтому \(\frac{AD}{DC}=\frac{PD}{PC}\). Но касательные из одной точки равны: \(PB=PD\). Следовательно, \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\).
Пусть теперь прямая через \(X\), параллельная \(BD\), пересекает стороны \(AB\) и \(AD\). Тогда из подобия треугольников получаем \(\frac{AY}{AB}=\frac{AZ}{AD}=\frac{AX}{AC}\), поэтому \(Y\) и \(Z\) делят первые звенья ломаных в одном отношении.
Если же эта прямая пересекает стороны \(BC\) и \(DC\), то аналогично \(\frac{CY}{CB}=\frac{CZ}{CD}=\frac{CX}{CA}\), значит, оставшиеся части обеих ломаных имеют один и тот же относительный размер.
Так как полные длины двух ломаных имеют одинаковое отношение соответствующих звеньев, в обоих случаях точка на одной ломаной и точка на другой задают одинаковую долю пути от \(A\) к \(C\).
A. Анализ источника. Основные объекты: две касательные, хорда через точку пересечения касательных, две ломаные. Очевидный подход — применять параллельность сразу, но этого мало без скрытого равенства отношений \(AB:BC=AD:DC\). Нужное преобразование — сначала получить это отношение через подобие с касательными. Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача, где подобие появляется дважды, а затем используется в задаче о делении ломаных.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: сначала нужен касательно-хордовый угол, затем две пары подобных треугольников, затем отдельная работа с параллельной прямой.