Задача
GEO-B1-M03-P020 Параллели к двум медианам
В треугольнике \(ABC\) точка \(P\) лежит на стороне \(AC\). Через \(P\) проведены прямые, параллельные медианам из вершин \(A\) и \(C\). Они пересекают стороны \(BC\) и \(AB\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что медианы из \(A\) и \(C\) делят отрезок \(EF\) на три равные части.
Проведите через середины сторон средние линии и используйте параллельные отрезки внутри треугольников. Удобно также применить координаты на стороне \(AC\).
Обозначим середины сторон \(BC\) и \(AB\) через \(K\) и \(L\); медианы — \(AK\) и \(CL\). Достаточно доказать утверждение в удобной аффинной модели, потому что параллельность и отношения на одной прямой сохраняются. Возьмём координаты \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(B=(0,1)\). Тогда \(K=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\), \(L=\left(0,\frac{1}{2}\right)\). Пусть \(P=(t,0)\).
Прямая через \(P\), параллельная \(AK\), имеет направление \((1,1)\) и пересекает \(BC\) в точке \(E=\left(\frac{1+t}{2},\frac{1-t}{2}\right)\). Прямая через \(P\), параллельная \(CL\), имеет направление \((-1,\frac{1}{2})\) и пересекает \(AB\) в точке \(F=\left(0,\frac{t}{2}\right)\). Параметризуем \(EF\): \(Z(\lambda)=E+\lambda(F-E)\).
Медиана \(AK\) задаётся уравнением \(y=x\). Подстановка \(Z(\lambda)\) даёт \(\lambda=\frac{1}{3}\). Медиана \(CL\) задаётся уравнением \(y=\frac{1-x}{2}\). Подстановка даёт \(\lambda=\frac{2}{3}\). Значит точки пересечения медиан с \(EF\) делят отрезок в долях \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{2}{3}\), поэтому три части равны.
Это задача-звёздочка внутри вводного модуля. Её можно оставить для сильной группы или вынести в ladder.