Задача
GEO-B1-M05-P021 Скрытая окружность на сторонах треугольника
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in AB\) и \(E\in AC\). Известно, что \(\angle ADE=\angle ACB\). Докажите, что точки \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.
Так как \(D\) лежит на \(AB\), угол \(\angle ADE\) можно связать с углом \(BDE\).
Точки \(A,D,B\) лежат на одной прямой, поэтому \(\angle BDE=180^\circ-\angle ADE\). По условию \(\angle ADE=\angle ACB\). Так как \(E\) лежит на \(AC\), угол \(\angle BCE=\angle BCA=\angle ACB\). Значит \(\angle BDE+\angle BCE=180^\circ\). Сумма противоположных углов четырёхугольника \(BCDE\) равна \(180^\circ\), следовательно, \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.
Сильная задача на обратный признак цикличности: равенство углов спрятано через развернутый угол.