Задача
GEO-B1-M05-P020 Касательные из одной точки
#20
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Из точки \(T\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(TA\) и \(TB\). Докажите, что \(TA=TB\), и что \(OT\) делит угол \(ATB\) пополам.
Сравните прямоугольные треугольники \(OTA\) и \(OTB\).
Так как \(OA\perp TA\) и \(OB\perp TB\), треугольники \(OTA\) и \(OTB\) прямоугольные. В них \(OA=OB\) как радиусы, а \(OT\) — общая гипотенуза. Поэтому треугольники равны. Следовательно, \(TA=TB\), а также \(\angle ATO=\angle OTB\), то есть \(OT\) делит угол \(ATB\) пополам.
Хотя “касательные из одной точки равны” не главная тема модуля, это естественное следствие перпендикулярности радиуса касательной.