Задача
GEO-B1-M05-P025 Обратная теорема о касательной
#25
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Через точку \(B\) треугольника \(ABC\) проведена прямая \(l\), лежащая вне треугольника. Известно, что угол между \(l\) и хордой \(BA\) равен \(\angle BCA\). Докажите, что \(l\) касается описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(B\).
Вспомните обратную форму теоремы о касательной и хорде.
Для окружности, проходящей через \(A,B,C\), касательная в точке \(B\) образует с хордой \(BA\) угол, равный вписанному углу \(\angle BCA\), который опирается на хорду \(BA\). По условию прямая \(l\) образует с \(BA\) именно такой угол и лежит с внешней стороны треугольника. Следовательно, \(l\) совпадает с касательной к описанной окружности в точке \(B\).
Сильная задача на обратное использование теоремы о касательной и хорде.