Задача
GEO-B1-M05-P029 Касательные в двух вершинах треугольника
#29
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) касательные к описанной окружности в точках \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(T\). Докажите, что \(\angle BTC=180^\circ-2\angle BAC\).
Соедините центр окружности \(O\) с точками \(B\) и \(C\).
Пусть \(O\) — центр описанной окружности. Радиусы \(OB\) и \(OC\) перпендикулярны касательным \(TB\) и \(TC\), поэтому \(\angle OBT=\angle OCT=90^\circ\). Центральный угол \(\angle BOC\), опирающийся на дугу \(BC\), равен \(2\angle BAC\). В четырёхугольнике \(BOCT\) сумма углов равна \(360^\circ\). Тогда \(\angle BTC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle BOC=180^\circ-2\angle BAC\).
Сильная задача для первого уровня: здесь соединяются касательные, радиусы и центральный угол.