Задача
GEO-B1-M05-P028 Угол между высотами
#28
★★★★★ Уровень 5 из 5
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(H\). Докажите, что \(\angle DHE=180^\circ-\angle A\).
Учтите, что \(HD\) лежит на высоте из \(B\), а \(HE\) — на высоте из \(C\).
Так как \(BD\perp AC\), прямая \(HD\) перпендикулярна \(AC\). Так как \(CE\perp AB\), прямая \(HE\) перпендикулярна \(AB\). Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами или дополняет его до \(180^\circ\) в зависимости от выбранного угла. Внутри треугольника \(DHE\) получается тупой угол, поэтому \(\angle DHE=180^\circ-\angle BAC=180^\circ-\angle A\).
Хотя решение короткое, задача часто трудна: нужно видеть угол между высотами как угол между перпендикулярами к сторонам.