Задача
GEO-B1-M05-P033 Две окружности и точка касательных
Треугольник \(ABC\) вписан в окружность \(\Omega\) с центром \(O\). Окружность с диаметром \(AO\) пересекает окружность, описанную около треугольника \(OBC\), в точке \(S\ne O\). Касательные к \(\Omega\) в точках \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что точки \(A,S,P\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Докажите, что \(P\) лежит на окружности \((OBC)\).
D. Подсказка 2. Сравните две прямые, проходящие через \(S\) и перпендикулярные \(OS\).
E. Подробное решение.
Так как \(PB\) и \(PC\) — касательные к \(\Omega\), радиусы \(OB\) и \(OC\) перпендикулярны им. Поэтому \(\angle OBP=\angle OCP=90^\circ\).
Значит, точки \(O,B,C,P\) лежат на одной окружности, причём \(OP\) является её диаметром. Так как \(S\) лежит на этой окружности, получаем \(\angle OSP=90^\circ\).
С другой стороны, \(S\) лежит на окружности с диаметром \(AO\). Поэтому \(\angle ASO=90^\circ\).
Итак, и прямая \(SP\), и прямая \(SA\) проходят через точку \(S\) и перпендикулярны \(OS\). Через точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр, значит, \(A,S,P\) коллинеарны.
A. Анализ источника. Основные объекты: описанная окружность, окружность на диаметре, касательные. Очевидный подход — искать углы при \(A\), но скрытое наблюдение: точка пересечения касательных лежит на окружности \((OBC)\). Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: региональная задача с двумя окружностями на диаметрах и скрытой цикличностью через касательные.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно сначала добавить точку \(P\) на окружность \((OBC)\), затем увидеть два прямых угла при \(S\).