Задача
GEO-B1-M05-P034 Биссектриса в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой. Биссектриса \(BK\) пересекает \(AC\) в точке \(K\). Окружность, описанная около треугольника \(ABK\), вторично пересекает прямую \(BC\) в точке \(L\). Докажите, что \(BC+CL=AB\).
C. Подсказка 1. Отложите за точкой \(C\) на прямой \(BC\) отрезок \(CN=CL\).
D. Подсказка 2. Достаточно доказать, что \(BN=AB\). Используйте цикличность \(A,B,K,L\).
E. Подробное решение.
На продолжении \(BC\) за точку \(C\) отметим точку \(N\) так, что \(CN=CL\). Тогда \(BN=BC+CN=BC+CL\), поэтому достаточно доказать \(BN=AB\).
Так как \(A,B,K,L\) лежат на одной окружности, углы \(\angle AKB\) и \(\angle ALB\) дополняют друг друга до \(180^\circ\). Отсюда, с учётом коллинеарности \(A,K,C\) и \(B,L,C,N\), получаем \(\angle CKB=\angle ALC\).
Треугольники \(ACL\) и \(ACN\) прямоугольные, имеют общий катет \(AC\) и равные катеты \(CL=CN\). Они равны, значит \(\angle ANC=\angle ALC\). Поэтому \(\angle ANB=\angle CKB\).
Так как \(BK\) — биссектриса угла \(B\), \(\angle ABK=\angle KBC\). Из прямоугольного треугольника и предыдущего равенства углов следует, что \(\angle BAN=\angle ANB\).
Следовательно, треугольник \(ABN\) равнобедренный, и \(AB=BN\). Значит, \(AB=BC+CL\).
A. Анализ источника. Основные объекты: прямоугольный треугольник, биссектриса, второе пересечение окружности. Очевидный подход — пытаться считать длину \(CL\), но скрытое построение — отложить \(CL\) за прямым углом и свести всё к равнобедренному треугольнику. Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача с классическим дополнительным отрезком и циклическим углом.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужен дополнительный пункт \(N\), равенство прямоугольных треугольников и угловой вывод о \(ABN\).