Задача
GEO-B1-M05-P035 Медиана, высота и окружность с диаметром
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(AM\) и высота \(BH\). Перпендикуляр к \(AM\), проведённый через \(M\), пересекает луч \(HB\) в точке \(K\). Докажите, что если \(\angle MAC=30^\circ\), то \(AK=BC\).
C. Подсказка 1. Заметьте окружность с диаметром \(AK\).
D. Подсказка 2. Сравните хорду \(HM\) этой окружности с медианой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике \(BHC\).
E. Подробное решение.
Так как \(BH\perp AC\), а \(K\) лежит на луче \(HB\), имеем \(KH\perp AH\). Кроме того, по построению \(KM\perp AM\).
Значит, \(\angle AHK=\angle AMK=90^\circ\), и точки \(A,H,M,K\) лежат на одной окружности. У этой окружности диаметр \(AK\).
Угол \(\angle MAH\) равен \(\angle MAC=30^\circ\), потому что \(H\in AC\). Следовательно, хорда \(HM\), на которую опирается угол \(30^\circ\), равна радиусу окружности, то есть \(HM=\frac{AK}{2}\).
В прямоугольном треугольнике \(BHC\) точка \(M\) — середина гипотенузы \(BC\), так как \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\). Поэтому \(HM=\frac{BC}{2}\).
Получаем \(\frac{AK}{2}=HM=\frac{BC}{2}\), значит, \(AK=BC\).
A. Анализ источника. Основные объекты: медиана, высота, окружность с диаметром, хорда под углом \(30^\circ\). Очевидный подход — пытаться выразить \(AK\) напрямую, но скрытая окружность \(A,H,M,K\) превращает длину \(AK\) в удвоенную хорду \(HM\). Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача с одной скрытой окружностью и медианой к гипотенузе.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно увидеть цикличность, использовать угол \(30^\circ\) как факт о хорде, затем перейти к прямоугольному треугольнику \(BHC\).