Задача
GEO-B1-M06-P016 Точка на диагонали параллелограмма
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В параллелограмме \(ABCD\) точка \(P\) лежит на диагонали \(AC\). Докажите, что \(S_{ABP}=S_{ADP}\).
Сравните доли площадей треугольников \(ABC\) и \(ACD\), отрезанные точкой \(P\) на общей диагонали.
Пусть \(AP:PC=t:(1-t)\). В треугольнике \(ABC\) имеем \(S_{ABP}:S_{PBC}=AP:PC\), поэтому \(S_{ABP}=tS_{ABC}\). Аналогично в треугольнике \(ACD\) получаем \(S_{ADP}=tS_{ACD}\). Но диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника: \(S_{ABC}=S_{ACD}\). Значит \(S_{ABP}=S_{ADP}\).
Хороший пример area chasing на диагонали параллелограмма.