Задача
GEO-B1-M06-P031 Разные полоски и квадрат
Есть по одному клетчатому прямоугольнику каждого размера \(1\times1,1\times2,1\times3,\ldots,1\times N\), где \(N\ge2\). Можно ли выбрать несколько из них и без перекрытий составить клетчатый квадрат площади больше \(1\)?
C. Подсказка 1. Возьмите среди выбранных прямоугольников самый длинный.
D. Подсказка 2. Если выбран прямоугольник \(1\times n\), сторона квадрата не меньше \(n\), но суммарная площадь выбранных прямоугольников с длиной не больше \(n\) мала.
E. Подробное решение.
Предположим, что такой квадрат составлен, и пусть \(1\times n\) — самый длинный выбранный прямоугольник. Так как площадь квадрата больше \(1\), имеем \(n>1\).
Прямоугольник \(1\times n\) должен поместиться в квадрат, даже если его повернуть. Поэтому сторона квадрата не меньше \(n\), а площадь квадрата не меньше \(n^2\).
С другой стороны, среди выбранных прямоугольников могут быть только прямоугольники \(1\times1,1\times2,\ldots,1\times n\). Их суммарная площадь не превосходит \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
При \(n>1\) выполняется \(\frac{n(n+1)}{2} Следовательно, составить квадрат площади больше \(1\) невозможно.
A. Анализ источника. Основные объекты: набор полосок, клетчатый квадрат, максимальная длина выбранной полоски. Очевидный подход — пробовать раскладки, но скрытое наблюдение: максимальная полоска задаёт нижнюю границу стороны квадрата. Ключевых идей: 2.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача на площади и экстремальный выбранный элемент.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно выбрать максимальный прямоугольник, получить нижнюю оценку площади квадрата и сравнить её с суммой площадей всех возможных выбранных полосок.