Задача
GEO-B1-M06-P030 Конкуррентность из отношений
#30
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\). Известно, что \(BD:DC=2:3\), \(CE:EA=3:5\), \(AF:FB=5:2\). Докажите, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
Проверьте произведение трёх отношений.
Имеем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=1\). По обратной форме площадной теоремы Чевы из равенства произведения \(1\) следует, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны, то есть пересекаются в одной точке.
Это задача-мост к модулю Book 2 про Чеву и Менелая; для Book 1 можно давать как challenge.