Задача
GEO-B1-M07-P024 Медиана к гипотенузе наоборот
#24
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\), причём \(AM=BM\). Докажите, что \(\angle BAC=90^\circ\).
Постройте окружность с центром \(M\) и радиусом \(MB\).
Так как \(M\) — середина \(BC\), имеем \(MB=MC\). По условию \(AM=BM\). Значит \(MA=MB=MC\), и точки \(A,B,C\) лежат на окружности с центром \(M\). При этом \(BC\) — диаметр этой окружности. Угол \(\angle BAC\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle BAC=90^\circ\).
Сильный пример: равные расстояния подсказывают окружность.