Задача
GEO-B1-M07-P023 Медиана как высота
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). Известно, что \(AM\perp BC\). Докажите, что \(AB=AC\). Какое построение или сравнение здесь естественно?
Сравните треугольники \(ABM\) и \(ACM\).
Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) прямоугольные. У них \(BM=CM\), потому что \(M\) — середина, и \(AM\) — общая сторона. Значит треугольники равны по двум катетам, откуда \(AB=AC\). Здесь естественное действие — сразу искать равные треугольники около построенной медианы.
Не всякий toolbox-ход требует новой линии; иногда нужная вспомогательная линия уже проведена.