Задача
GEO-B1-M08-P016 Окружность на высотах
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(H\). Докажите, что точки \(A,D,H,E\) лежат на одной окружности, и найдите \(\angle DHE\) через \(\angle A\).
Найдите два прямых угла, затем посмотрите на угол между высотами.
Так как \(BD\perp AC\), \(\angle ADH=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), \(\angle AEH=90^\circ\). Значит \(A,D,H,E\) лежат на окружности с диаметром \(AH\). Кроме того, \(HD\perp AC\) и \(HE\perp AB\), поэтому тупой угол между \(HD\) и \(HE\) равен \(180^\circ-\angle A\). Следовательно, \(\angle DHE=180^\circ-\angle A\).
Сильная mixed-задача: высоты, окружность, угол между перпендикулярами.