Задача
GEO-B1-M08-P024 Равные площади дают медиану
#24
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\). Известно, что \(S_{PAB}=S_{PAC}\). Докажите, что прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\).
У треугольников \(PAB\) и \(PAC\) общее основание \(AP\).
Треугольники \(PAB\) и \(PAC\) имеют общее основание \(AP\). Равенство площадей означает, что расстояния от \(B\) и \(C\) до прямой \(AP\) равны. Так как \(B\) и \(C\) находятся по разные стороны от \(AP\), прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\).
Сильная обратная идея: площадь определяет медиану.