Задача
GEO-B1-M08-P028 Третья медиана через площади
#28
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) медианы из \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(G\). Прямая \(CG\) пересекает \(AB\) в точке \(F\). Докажите, что \(AF=FB\).
Точка на медиане даёт две равные площади.
Так как \(G\) лежит на медиане из \(A\), \(S_{GAB}=S_{GAC}\). Так как \(G\) лежит на медиане из \(B\), \(S_{GAB}=S_{GBC}\). Значит \(S_{GAC}=S_{GBC}\). Эти треугольники имеют общее основание \(GC\), поэтому точки \(A\) и \(B\) равноудалены от прямой \(GC\). Следовательно, \(GC\) проходит через середину \(AB\), то есть \(AF=FB\).
Сильная задача на доказательство свойства медиан через площади.