Задача
GEO-B1-M08-P029 Две касательные
#29
★★★★★ Уровень 5 из 5
К описанной окружности треугольника \(ABC\) в точках \(B\) и \(C\) проведены касательные, которые пересекаются в точке \(T\). Докажите, что \(\angle BTC=180^\circ-2\angle BAC\).
Соедините центр окружности с \(B\) и \(C\).
Пусть \(O\) — центр окружности. Радиусы \(OB\) и \(OC\) перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике \(BOCT\) углы при \(B\) и \(C\) прямые. Центральный угол \(\angle BOC=2\angle BAC\). Тогда \(\angle BTC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-2\angle BAC=180^\circ-2\angle BAC\).
Сильная смешанная задача: касательные, радиусы, центральный и вписанный угол.