Задача
GEO-B1-M08-P030 Конкуррентность из отношений
#30
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D,E,F\) лежат на сторонах \(BC,CA,AB\) соответственно. Известно, что \(BD:DC=2:3\), \(CE:EA=3:5\), \(AF:FB=5:2\). Докажите, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
Проверьте произведение трёх отношений.
Имеем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=1\). По обратной форме площадной теоремы Чевы из этого следует, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
Финальная challenge-задача: сильная, но логично завершает Book 1 смешанным применением площадей и отношений.