Задача
GEO-B2-M01-P003 Касательная и хорда
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Прямая \(t\) касается окружности, описанной около треугольника \(ABC\), в точке \(A\). Докажите, что \(\angle(t,AB)\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\).
Это теорема о касательной и хорде. Можно доказать её через радиус к точке касания и центральный угол.
Пусть \(O\) — центр окружности. Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(t\). Центральный угол \(\angle AOB\) в два раза больше вписанного угла \(\angle ACB\). Из перпендикулярности \(OA\perp t\) следует, что угол между \(t\) и \(AB\) равен половине центрального угла, то есть \(\angle ACB\). Значит \(\angle(t,AB)\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\).
Это базовый инструмент всего модуля; дальше он используется как готовый факт.