Задача
GEO-B2-M01-P007 Угол между окружностями
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Точка \(C\) лежит на \(\omega_1\), а точка \(D\) лежит на \(\omega_2\). Докажите, что угол между окружностями в точке \(A\) равен \(\angle ACB-\angle ADB\) в ориентированной записи.
Угол между окружностями — это угол между касательными к ним в точке \(A\).
Пусть \(t_1\) и \(t_2\) — касательные к \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в точке \(A\). По теореме о касательной и хорде \(\angle(t_1,AB)\equiv\angle ACB\), а \(\angle(t_2,AB)\equiv\angle ADB\). Тогда \(\angle(t_1,t_2)\equiv\angle(t_1,AB)-\angle(t_2,AB)\equiv\angle ACB-\angle ADB\pmod{180^\circ}\).
Это первая задача на угол между окружностями; дальше она станет стандартным инструментом.