Задача
GEO-B2-M01-P006 Распознать касательную
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точки \(A,B,C\) лежат на окружности. Прямая \(l\) проходит через \(A\), причём \(\angle(l,AB)\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\). Докажите, что \(l\) касается окружности в точке \(A\).
Сравните \(l\) с настоящей касательной в точке \(A\).
Пусть \(t\) — касательная к окружности в точке \(A\). По теореме о касательной и хорде \(\angle(t,AB)\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\). По условию \(\angle(l,AB)\) имеет то же значение. Следовательно, прямые \(l\) и \(t\) совпадают, и \(l\) является касательной.
Полезно тренировать обратное использование теоремы о касательной и хорде.