Задача
GEO-B2-M01-P009 Угол между диагоналями
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В выпуклом циклическом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что \(\angle APB=\angle ACB+\angle CBD\).
Рассмотрите треугольник \(BCP\), затем используйте смежный угол при \(P\).
В треугольнике \(BCP\) имеем \(\angle PBC=\angle DBC=\angle CBD\) и \(\angle BCP=\angle BCA=\angle ACB\). Поэтому \(\angle BPC=180^\circ-\angle CBD-\angle ACB\). Углы \(\angle APB\) и \(\angle BPC\) смежные, значит \(\angle APB=\angle ACB+\angle CBD\).
Хорошая задача на аккуратный переход между обычными и ориентированными углами.